Чисто умовний і умовно-категоричний умовивід

Слідство умовної посилки - негативне судження, категорична посилка (стверджувальне судження) стверджує істинність підстави, висновок (негативне судження) стверджує істинність слідства, тобто

p→¬q,p

-----------------

¬q

Це стверджує модус.

Можливі й інші різновиди модусів.

По-друге, якщо ббльшая посилка є еквівалентним судженням: p≡q (якщо, і тільки якщо p, то q), де ≡ - знак еквівалентності, то достовірні висновки виходять за всіма чотирма модусу:

p≡q,p   p≡q,¬q   p≡q,¬p   p≡q,q

----------; -----------; ----------; -----------

q         ¬p           ¬q           p

Розглянемо для прикладу виокремлює умовне судження: «Якщо особа винна у вчиненні злочину, то вона підлягає кримінальній відповідальності». Неважко встановити, що достовірне висновок виходить по кожному з наведених модусів.

Необхідність виведення з затверджує і отрицающему модусу можна показати за допомогою таблиць істинності.

Стверджуючий модус (таблиця 15).

 Таблиця 15

Істинність імплікації (стовпчик 3) залежить від істинності антецедента (підстави) (1) і консеквента (слідства) (2). Імплікація вважається помилковою тоді і тільки тоді, коли антецедент істинний, а консеквент хибна (2-й рядок таблиці). У всіх інших випадках імплікація істинна. Істинність або хибність кон'юнкції (4-й стовпчик) також залежить від складових її членів (3 і 1). Кон'юнкція істинна тоді і тільки тоді, коли істинні обидва її члена (1-й рядок таблиці).

Тепер встановимо істинність імплікації (5-й стовпчик таблиці - стверджує модус). Так як імплікація антецедента (4) і консеквента (2) не містить випадки, коли антецедент істинний, а консеквент хибна, то імплікація завжди істинна. Отже, вислів ((p→q)Λp)→q є логічним законом.

Заперечує модус (таблиця 16).

У стовпчиках 1 і 3,2 і 4 показано, що якщо одне висловлення помилкове, то його заперечення істинно. Імплікація p і q (1 і 2) помилкова тільки в одному випадку (2-й рядок таблиці) - стовпчик 5. Кон'юнкція (стовпчик 6) висловлювань (p→q) і ¬q (5 і 4) істинна тільки в одному випадку (4-й рядок таблиці). Імплікація ((p→q)Λ¬q) і ¬p (6 і 3) завжди істинна, оскільки не містить випадки, коли антецедент істинний, а консеквент хибна. Отже, вислів ((p→q)Λ¬q)→¬p є логічним законом.

За допомогою таблиць істинності можна показати недостовірність висновків по неправильним модусу.

Таблиця 16